ما هي الأعداد النسبية وغير النسبية

تُستخدم الأعداد النسبية في المعاملات الرياضية المختلفة.. والتي تعد جزء لا يتجزأ من حياتنا اليومية.. وتقوم كلها على الأعداد، تلك التي يندرج تحتها الأعداد الحقيقية والأعداد الصحيحة وكذلك النسبية، وكلًا منها له خصائصه واستخداماته المختلفة عن غيره، لذا من سنسلط الضوء على تلك الأعداد.. بالإضافة إلى الإشارة لخصائصها والمعاملات الحسابية التي تخضع لها .

ما هي الأعداد النسبية وغير النسبية

إن الأعداد النسبية هي تلك الأعداد التي تكتب على الطريقة الكسرية، على طريقة أ/ب أي مع وجود البسط والمقام.. شرط أن يكون الرقم في المقام لا يساوي صفر.

يمكن القول إن أغلب الأعداد التي نستخدمها في جوانب حياتنا اليومية هي أعداد نسبية.. فهي أعداد صحيحة لا تخضع لأعداد تقريبية أو قيم عشرية.

يُمكن كتابة كافة الأرقام على طريقة الأعداد النسبية، لذا فالأرقام جميعها الموجبة والسالبة وأيضًا الصفر.. يُمكن وضعها على شكل العدد النسبي، فمثلًا الرقم (6) يُمكن كتابته على طريقة الأعداد النسبية كالتالي 1/6.

بسبب استخدام النسبة عند تقسيم البسط والمقام.. كان هذا سبب إطلاق مُسمى النسبية على تلك الأعداد، لذا على الجانب الآخر يتم إطلاق مصطلح الغير نسبية على تلك الأرقام الحقيقية التي لا يتم وضعها على هيئة كسر بسط ومقام.. مثل بعض الجذور التربيعية والتكعيبية.

إذا كان العدد النسبي يعبر عن عدد صحيح.. نجد على النقيض أن العدد الغير نسبي يندرج تحت الأعداد غير الصحيحة، لذا يمكن أن نجد أن العدد غير النسبي في هيئة كسر أو عدد تقريبي أو عشري.. فربما يتضمن البسط جذرًا تربيعيًا، فنكون بصدد أعداد غير نسبية وغير صحيحة.

لا يفوتك أيضًا: ما هي الأعداد الأولية وكيفية تحديد العدد الأولي

خصائص الأعداد النسبية

تتميز الأرقام النسبية بعدم سمات تميزها عن غيرها من الأعداد الحقيقية.. وتلك الخصائص تتلخص فيما يلي:

• عند ضرب البسط والمقام في عدد صحيح لا يمكن أن يعطي الناتج يساوي صفر.. كذلك الحال بصدد الجمع أو الطرح.
• عند القيام بقسمة البسط والمقام للعدد النسبي على متغير صحيح.. لا يساوي صفر، نجد أن قيمة العدد النسبي لا تتغير.

مثال: عند قسمة البسط والمقام للعدد النسبي 8/4 على الرقم الصحيح (2)، فإن قيمة العدد النسبي ستصبح 4/2.. هي ذاتها قيمة الكسر 8/4 أي أن القيمة لا تتغير.

• إذا كان العامل المشترك بين البسط والمقام بالنسبة للعدد النسبي هو (1).. يعتبر هذا من الأرقام النسبية القياسية، فنجد أن هذه الأعداد على سبيل المثال: 2/5، 5/2
• عند ضرب البسط والمقام في متغير ما لكنه لا يساوي الصفر.. نجد أن قيمة العدد النسبي لا تتغير.

على سبيل المثال: إذا كان العدد النسبي هو 2/4.. وقمنا بضرب كلًا من البسط والمقام في العدد (4)، نجد النتيجة عدد نسبي جديد لكنه يحمل القيمة ذاتها للعدد السابق، وهو 8/16.. كما أنه يُمكن التأكد من ذلك في حالة القيام بقسمة البسط والمقام على العدد المشترك.

شاهد أيضًا: أي كسر فيما يلي لا يساوي الكسور الأخرى

خواص العمليات الحسابية على العدد النسبي

كغيرها من الأعداد الأخرى تمتلك الأعداد النسبية العديد من الخواص المختلفة، والتي تعتمد بشكل كبير على نوع العملية الحسابية التي يتم اللجوء إليها في العمليات الرياضية.. ويمكن الاطلاع على خصائص تلك الأعداد من خلال التالي:

1- الخاصية التبديلية

يتم استخدام تلك الخاصية في عمليتي الجمع والضرب.. على سبيل المثال: أ+ ب = ب+ أ كذلك الحال بالنسبة للضرب أ× ب = ب× أ.

2- الخاصية التجميعية

تختصل الخاصية التجميعية بحالتي الضرب والجمع أيضًا.. وهي كالآتي: أ+(ب+ ج) = (أ+ ب) +ج، وبالنسبة للضرب نجد الفكرة ذاتها.

3- الخاصية التوزيعية

من العمليات الحسابية التي تُستَخدَم في عملية ضرب العدد النسبي فقط.. فعلى سبيل المثال: أ× (ب+ ج) = (أ ×ب) + (أ× ج).

عندما نضيف الصفر إلى أي عدد نسبي يكون الناتج هو العدد ذاته.. في معنى أن الصفر محايد جمعي.. وعندما نقوم بضرب أي عدد نسبي ×١ يكون الناتج هو العدد ذاته.. ما يعني أن ١ هو محايد ضربي.

غنى عن البيان أن المعكوس الجمعي لأي عدد نسبي يكون من خلال عكس إشارة العدد.. فإذا كان موجبًا نجعله بالسالب والعكس.

لايفوتكم: كيفية ترتيب الكسور من الأصغر إلى الأكبر

4- المعكوس الضربي

أما عن المعكوس الضربي للعدد النسبي فيمكن إيجاده من خلال مقلوب العدد ذاته.. أي نجعل البسط مقام والمقام بسط، على سبيل المثال نجد أن المعكوس الضربي للعدد النسبي ٢/٣ = ٣/٢.. وعليه نجد أن من الخواص النسبية لتلك الأعداد أيضًا أن حاصل ضرب أي عدد نسبي × مقلوبه = ١

العمليات الحسابية على الأعداد النسبية

تدخل الأعداد النسبية في العمليات الحسابية المختلفة.. من جمع وطرح وقسمة وضرب، فكما أشرنا إلى القسمة والضرب بأنهما لا يغيران من قيمة العدد النسبي.. نشير هنا إلى بقية العمليات الحسابية التي تجري على الأعداد النسبية:

1- جداء الأعداد النسبية

تلك العملية الحسابية تعني بأن نقوم بضرب البسط في العدد النسبي الأول.. في البسط في العدد النسبي الثاني، وكذلك بالنسبة لمقام العدد النسبي الأول يتم ضربه في العدد النسبي الثاني.

على سبيل المثال: ما هو حاصل جداء العددين النسبيين: 3/2.. 4/5؟ إذًا نقوم بضرب البسط في العددين كالآتي: (2*5) / (3*4) = 12/10

2- طرح الأعداد النسبية

تتم تلك العملية الحسابية استنادًا إلى عدة خطوات كالتالي:

1. توحيد المقامين في العددين النسبيين.
2. يتم ذلك عن طريق ضرب البسط والمقام في أحدهما أو كلاهما معًا في متغير صحيح.
3. العمل على طرح قيمة البسط في العدد الأول من البسط في العدد الثاني.
4. إبقاء قيمة المقام ثابتة.

على سبيل المثال: اذكر حاصل طرح العدد النسبي 4/3 من العدد النسبي 2/1؟ عند تطبيق الخطوات السابقة بتوحيد المقام.. يصبح الرقم النسبي هكذا 4/2، وعندها يكون الطرح بالمعادلة التالية: 4/2 – 4/3 = -4/1.

لا يفوتك أيضًا: شرح التمييز وأنواعه واحكامه

3- جمع الأعداد النسبية

عند القيام بعملية الجمع لعددين نسبيين.. علينا القيام بخطوة توحيد المقام أولًا، ذلك ليكون مقامًا مشتركًا من خلال ضرب أحد العددين النسبيين في أعداد صحيحة، وربما يجدي ضرب كليهما، ويتم جمع البسط في العدد النسبي الأول، مع البسط في العدد النسبي الثاني.. على أن يظل المقام ثابتًا.

على سبيل المثال: إذا أردت جمع العددين النسبيين: 2/1.. 4/3 فما هو الحل؟

بدايةً نقوم بتوحيد المقام، هذا من خلال ضرب العدد الأول بسطه ومقامه في عدد صحيح وليكن (2)، فتكون النتيجة هي العدد النسبي 4/2.. وقمنا بالضرب في العدد الصحيح 2 حتى يتم توحيد المقام، وبعد ذلك نقوم بجمع الأعداد النسبية معًا لتكون الإجابة: 4/2 + 4/3 = 4/5

4- ضرب الأعداد النسبية

عندما تقوم بضرب عدد نسبي في عدد نسبي آخر ستأتي النتيجة عددًا نسبيًا لا محالة.. كما أن هناك خاصية في عملية الضرب أنه لا يشترط فيها توحيد المقامات حتى تتم، حيث يتم الضرب بشكل مباشر.

5- قسمة الأعداد النسبية

كذلك الحال بصدد القسمة.. سيكون ناتج قسمة عددين نسبيين هو عدد نسبي آخر، لكن هناك شرط للقيام بعملية القسمة.. ذلك أن يتم تحويلها أولًا إلى ضرب، من خلال ترك العدد الأول كما هو ومن ثمَّ أخذ مقلوب العدد الثاني، والقيام بعملية الضرب العادية.

فيما معناه أن قسمة العدد النسبي هي نفسها عملية الضرب لكن يؤخذ مقلوب العدد الثاني.

أنواع الأرقام النسبية

بوجه عام تنقسم الأعداد إلى نوعين أحدهما موجب والآخر سالب.. كذلك الأعداد النسبية تنقسم بدورها إلى تلك الأنواع، فإذا كان كلًا من بسط ومقام العدد النسبي موجب.. نجد أن القيمة الكلية للعدد النسبي تعد موجبة.

كذلك الحال بالنسبة للقيمة الكلية السالبة للعدد النسبي.. نراها عندما تكون صورة كلًا من البسط والمقام سالبة، أو حتى في حالة كون أحدهما سالبًا تكون حالة العدد النسبي الكلية سالبة.. جدير بالذكر أنه عند كتابة الأعداد النسبية على الطريقة السالبة، يُمكن وضع السالب بطريقتين، إما أمام العدد النسبي في البسط.. أو أمام الكسر بشكل كامل.

بداية العدد النسبي

كانت الأعداد المستخدمة قديمًا في العد فقط يرمز لها بالرمز ع، ومن ثم أصبحنا نشير إليها بالرمز ص+.. للدلالة على كونها أعداد صحيحة موجبة.

عند ظهور العدد صفر وتمت إضافته مع الأعداد، تغيرت مسميات تلك الأعداد حيث أصبحت الأعداد الطبيعية.. تلك التي يرمز إليها بالرمز ط، وسرعان ما ظهرت الأعداد الصحيحة السالبة، والتي بالضرورة أخذت رمز ص-.

هكذا اكتملت فئة الأعداد الصحيحة التي رُمز لها جميعًا بالرمز ص.. لتشمل الموجب والسالب معًا بالإضافة إلى الصفر، لكن على جانب آخر كانت تلك الأعداد لا تحتوي على كسور أو أعداد عشرية.. لذا ظهرت الأعداد النسبية لتعبر عن ذلك الغرض.

جاءت فئة الأرقام النسبية ليرمز لها بالرمز ن.. لتكون هي الأعداد التي لها مقام، سواء كانت أعداد صحيحة مقامها يكون ١.. أو كانت كسور وأعداد عشرية ونسب مئوية.

فكانت القاعدة العامة الحاكمة للأرقام النسبية أن كل عدد يعد نسبيًا فيما عدا أن يكون المقام يساوي صفر.. هذا يخص المقام فقط، حيث إذا كان البسط يساوي صفر لا يمثل مشكلة.

يرجع الفضل في اكتشاف مفهوم العدد النسبي للعصور القديمة.. ذلك حينما ظهرت الكسور في النصوص المأثورة عن الحضارة المصرية القديمة والبابلية، وأيضًا عند الهنود.

كما نشير إلى بعض العلماء ممن أضافوا كثيرًا إلى دراسة العدد النسبي.. وهم العالم فيثاغورث، أرشميدس، الخوارزمي، الحسن بن الهيثم.

لا يفوتك أيضًا: ما هو المفعول معه في اللغة العربية

تمارين على العدد النسبي

يساعد حل التمارين على فهم الأعداد بصورة أكبر.. حيث تختلف الأسئلة الموجودة بصدد الأرقام النسبية لكنها تعمل جميعًا على زيادة فهم القاعدة الرياضية واستيعابها.. من تلك التمارين ما يلي:

أكتب الأعداد التالية في الصورة أ/ب:

• -٥=
• صفر=
• ٠,٧٥=
• ٤,٥٪=
• -٠,٠١=

الإجابة:

• -٥/١
• صفر/١
• ٣/٤
• ٩/٢٠٠
• -١/١٠٠

أكمل ما يلي:

• إذا كان ٥/أ عددًا نسبيًا.. فإن أ لا تساوي……..
• ١/٤= ……٪
• س+٧/ س–٣ لا تعبر عن عدد نسبي.. إذا كانت س تساوي………

الإجابة:

• صفر
• ٢٥٪
• ٣